El concepto de distribución de probabilidad es fundamental. Describe cómo se reparte la probabilidad de una variable aleatoria.
Le damos el nombre variable aleatoria a una cantidad que toma distintos valores cada vez que lo medimos. (El nombre no es bueno.) Ciertos valores pueden ser más probables y otros menos probables.
Como primer ejemplo, pensemos en un dado. Cuando lanzamos un dado, puede caer en uno de los lados $1$ a $6$. Si el dado no tiene sesgo, esperamos que caerá con "igual probabilidad" $\frac{1}{6}$ en cada lado. Pero, ¿qué queremos decir con esta aseveración?
En una interpretación "frecuentista" de la probabilidad, nos referimos a que si lanzamos el dado un número muy grande $N$ de veces, caerá en cada lado $N/6$ veces. [Otra interpretación, más favorecida hoy día, es la Bayesiana.]
La colección de todas las probabilidades de todos los valores posibles de la variable aleatoria $X$, "el valor que arroja el dado", se llama la distribución de probabilidad de $X$. Escribimos $P(X=1) = \frac{1}{6}$, etc.
Si las probabilidades son iguales, decimos que la distribución es uniforme. Pero si realmente hacemos el experimento, ¿qué tan uniformes salen las frecuencias?
Ejercicio 1:
(a) Genera un número aleatorio uniforme entero entre 1 y 6 con
rand(1:6)
[Checa cuál es el tipo del objeto 1:6.]
(b) ¿Cómo se pueden generar $N$ tales números? Haz una función para hacerlo.
(c) Cuenta el número de veces que dio $1$, $2$, $\ldots$, $6$ y así calcula las frecuencias al normalizarlos con el número total.
(d) Dibuja el resultado. ¿Qué observas? Hazlo varias veces con el mismo valor de $N$.
(e) Repite el cálculo con números $N$ mayores. ¿Qué observas?
(f) Calcula para cada $N$ cuánto desvía el valor observado del valor teórico esperado. Dibuja esto en función de $N$. ¿Cómo se comporta esta desviación?
Este resultado se puede entender al hacer un cálculo analítico, como sigue.
In [1]:
rand(1:6)
Out[1]:
In [2]:
function f(N)
x=[]
for i in 1:N
push!(x,rand(1:6))
end
return x
end
Out[2]:
In [6]:
N=zeros(6);
In [2]:
@which rand()
Out[2]:
In [ ]:
In [9]:
for i in f(50)
for j in 1:6
if i==j
N[i]+=1
end
end
end
In [12]:
frecuencias=N/sum(N)
Out[12]:
In [1]:
using PyPlot
In [43]:
function d(n)
x=[]
for i in 1:n
push!(x,rand(1:6))
end
N=zeros(6)
for i in x
for j in 1:6
if i==j
N[i]+=1
end
end
end
frecuencias=N/sum(N)
desviacion=[abs(i-1/6) for i in frecuencias]
return maximum(desviacion)
end
Out[43]:
In [50]:
y=[d(i) for i in 1:1000];
In [52]:
plot(1:1000,y)
Out[52]:
Ejercicio 2:
(a) Pensemos sólo en el lado $1$. Sea $p := \frac{1}{6}$ la probabilidad de que caiga en este lado. Si lanzamos 2 veces, ¿cuál es la probabilidad de que salgan (i) cero veces $1$; (ii) una vez $1$; (iii) dos veces $1$?
(b) Si lanzamos 3 veces, ¿cuáles son las probabilidades de que salga cada número posible de $1$s entre 0 y 3?
(c) Si lanzamos N veces, ¿cuáles son las probabilidades?
(d) ¿Cuál es el valor promedio que sale? ¿Qué otra cantidad podríamos querer calcular?
Respuestas
(a) (i) $P(x_1\neq 1| x_2\neq 1)=P(x_1\neq 1)P(x_2\neq 1)=\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36}$.
(ii) $P(x_1=1|x_2\neq 1)=P(x_1=1)P(x_2\neq 1)=\frac{1}{6}\frac{5}{6}=\frac{5}{36}$.
(iii) $P(x_1=1|x_2=1)=P(x_1= 1)P(x_2= 1)=\frac{1}{6}\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$.
Aquí, estamos hablando de otra variable aleatoria, el número de veces $Y_N$ que sale un $1$ en $N$ intentos. Por lo tanto, también podemos hablar de la distribución de probabilidad de $Y_N$, que una vez más es la colección de todas las probabilidades de todos los valores posibles de $Y_N$, que son $0$, $\ldots$, $N$.
Investiguemos esta distribución. Para hacerlo, generalicemos a una secuencia de ensayos de Bernoulli: es una secuencia de eventos independientes, con probabilidad $p$ de éxito en cada evento.
Ejercicio 3:
(a) Escribe una función que lleva a cabo $N$ ensayos de Bernoulli con probabilidad $p$ y calcula la proporción que fueron exitosos.
(b) Utiliza tu función para estimar numéricamente la distribución de probabilidad de $Y_{N,p}$.
(c) Dibújalo y compáralo con el analítico.
(d) ¿Qué pasa cuando $N$ es grande y $p$ es chico -- cómo se ve la distribución? ¿Esto se puede entender analíticamente?
In [2]:
function ber(N,p)
x=[]
for i in 1:N
if rand()<=p
push!(x,1)
else
push!(x,0)
end
end
return x
end
Out[2]:
In [3]:
function prop(N,p)
proporcion=sum(ber(N,p))/length(ber(N,p))
end
Out[3]:
In [9]:
y=[prop(20,0.5) for i in 1:10000];
La distribución de probabilidad de $Y_{N,p}$ se llama una distribución binomial. Se dice que es una distribución de probabilidad discreta, ya que los valores que toma son valores discretos.
La notación que se utiliza es
$$X \sim B(N,p)$$para decir que $X$ es una variable aleatoria con distribución de probabilidad binomial con parámetros $N$ y $p$.
In [10]:
plt.hist(y)
Out[10]:
In [ ]: